El Modelo Atómico de Bohr es un modelo clásico del átomo, pero fue el primer modelo atómico que introdujo la cuantización.
Este modelo funciona muy bien para el átomo de hidrógeno, y consigue explicar la líneas espectrales de este, pero en los en los espectros realizados a átomos de otros elementos se observó que electrones de un mismo nivel energético tenían distintas energías, mostrando que había un error en el modelo.
En realidad esta no era la única deficiencia del modelo (efectos relativistas, átomos con múltiples electrones, el espectro de estructura fina, etc...), pero fue uno de los primeros pasos
de la física moderna.
El modelo se sustenta sobre tres postulados:
- Primer postulado :
Los electrones describen órbitas circulares alrededor del núcleo del átomo sin emitir energía.
El que el electrón no pierda energía, ya que, según la electrodinámica clásica, una carga en movimiento circular la perdería en forma de radiación, es, de momento, una suposición; y la solución a ese problema se explicará en el segundo postulado.
Para conseguir una órbita circular, las fuerzas centrípeta (repulsiva) y coulumbiana (atractiva) deben de ser iguales, ya que el número de protones (núcleo) y electrones es el mismo :
o sea :
(1)
donde me es la masa del electrón, K la constante de Coulomb, Z el número atómico y e la carga del electrón (que es igual y opuesta a la del protón) :
Despejando el radio... :
(2)
Despejar la velocidad... :
(3)
por lo que :
(4)- Segundo postulado :
Tan solo están permitidas aquellas órbitas en las que el momento angular del electrón sea múltiplo entero de h-barra.
Bohr superó el problema de la pérdida de energía suponiendo que los electrones sólo podían moverse en unas órbitas específicas caracterizadas por su nivel energético. Estas órbitas se identifican por un número entero n, llamado Número Cuántico Principal, que toma valores de uno en adelante.
Pero ¿qué tiene que ver h-barra (h/2pi) con el momento angular?
Al hacer el análisis dimensional, vemos que coinciden :
Entones :
(5)donde n es un número entero positivo (n=1, 2, 3, 4...).
Despejando v...
(6)...obtenemos la ecuación cuantizada para los radios de las órbitas permitidas.
Con n=1 y Z=1 obtenemos el radio del estado fundamental del átomo de hidrógeno, el llamado radio de Bohr :
...igualamos con la ecuación del radio del primer postulado (2) y despejamos v...
(7)
...obtenemos la ecuación cuantizada para las velocidades de las órbitas permitidas.
Para obtener la energía correspondiente a cada nivel energético, basta con sustituir la
ecuación de los radios permitidos (6) en la expresión para la energía de las órbitas del primer postulado (4) :
que, si la "ordenamos"...
(8)
Con n=1 y Z=1 obtenemos la energía del estado fundamental del átomo de hidrógeno :
- Tercer postulado :
El electrón solo emite o absorbe energía en los saltos de una órbita permitida a otra. En el salto emite o absorbe un fotón cuya energía es igual a la diferencia de energía entre ambas órbitas.
(9)
Según la Ley de Plank...
Igualando, obtenemos la frecuencia del fotón emitido :
(10)
Y como...
...podemos obtener fácilmente la longitud de onda :
(11)
Para simplificar un poco la fórmula :
(12)
done RH recibe el nombre de Constante de Rydberg para el hidrógeno :
Con Z=1, nf=2 y ni=3, 4, 5, 6...., obtenemos la Serie de Balmer, que explica las lineas espectrales visibles del hidrógeno :
La imagen A es el espectro real y la B es el teórico, hecho con un programa en Python y usando las fórmulas anteriores.
Las longitudes de onda de las líneas espectrales (de derecha a izquierda) son :
- 656.112274 nm
- 486.009092 nm
- 433.936689 nm
- 410.070171 nm
- 396.907425 nm
- 388.807274 nm
- 383.442238 nm
Aquí concluye el Modelo Atómico de Bohr, al que sucede el Modelo Atómico de Sommerfield, el cual introduce el concepto de los subniveles y estudia efectos relativistas.
Para realizar cálculos :
